Estudià a les escoles de la Junta de Comerç de
Barcelona. El 1801, juntament amb el geògraf Rojas Clemente, presentà a
Carles IV un projecte de viatge d'exploració pel nord d'Àfrica i l'Orient Mitjà. Els objectius eren en teoria científics, però de fet el viatge obeïa a projectes d'expansió política i, sobretot, econòmica.
Badia emprengué el viatge el 1803, disfressat i sota nom aràbic. Home intel·ligent i observador, i també bon dibuixant, reeixí en la seva missió i, a més a més, recollí abundant material sobre la geografia, l'art, la fauna, els costums i els més diversos aspectes de les terres que visità. Com a fet
remarcable cal dir que aconseguí d'entrar a la Meca.
En tornar al país (1808), es trobà amb el fet consumat de
l'ocupació napoleònica. Oferí aleshores els seus serveis a Josep I que li concedí diversos càrrecs administratius.
El 1814 marxà a París amb les tropes franceses. Fou aleshores que Napoleó li encarregà un nou viatge, també
científic, a l'Índia. Aquest cop, però, la seva missió no podia deixar d'inquietar els anglesos, màxims competidors de França en el terreny de l'expansió colonialista. Així, Badia no pogué arribar a l'Índia, sinó que desaparegué a Damasc, probablement
assassinat per instigació d'agents britànics.
Badia és un dels primers exemples d'aquest tipus d'agent colonialista (Brazza, Stanley, el també català
Sinibald de Mas, etc), que proliferà durant el
s XIX. És, alhora, pel seu esperit observador i la seva curiositat enciclopèdica, un dels darrers representants de la figura del viatger il·lustrat setcentista.
Deixà una relació de la seva expedició titulada
Voyages d'Alí Bey en Afrique et en Asie pendant les années 1803, 1804, 1805, 1806 et
1807 (París, 1814), traduïda a l'anglès (1816), a l'alemany (1816), a l'Itàlia (1817), al castellà (1836) i dues vegades al català (1888 i 1934), llibre que s'inscriu dins el gènere il·lustrat dels viatges.
